penyelesaian persamaan simultan linier

Penyelesaian Persamaan – Persamaan Linier secara Simultan

                    Persamaan Linier secara Linier terdapat tiga komponwn, yaitu:

                          

               Sehingga ketiga komponen diatas akan digabungkan menjadi persamaan linier yang bentuk umumnya adalah sebagai berikut:

          Bentuk Umum Persamaan Linier:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + a₁₃ x₃ + ... + a_1n x_n = C₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + a­₂₃ x₃ + ... + a_2n x_n = C₂

a₃₁ x₁ + a₃₂ x₂ + a₃₃ x₃ + ... + a_3n x_n = C₃

.          .            .                   .            .

.          .            .                   .            .

.          .            .                   .            .

a_m1 x₁    a_m2 x₂    a_m3 x₃         a_mn x_n    C_m

                        

                            

A_mn               X_{n x 1}     = C_{n x 1}              Persamaan 12.1

X_{n x 1  =}   atau  X_{n x 1} = C_{n x 1}.  [A _{m xn} ]’

              Berdasarkan hal diatas, seorang ahli matematika yang bernama “Cramer “ menemukan satu metoda guna menyelesaikan persamaan – persamaan linier secara simultan atau lebih populer dengan istilah Kaedah Cramer . Penyelesaian berdasarkan persamaan 12.1 dilakukan dengan cara menghitung nilai dari variabel X yang dapat diperoleh dengan langkah – langkah sebagai berikut:

1.       Menghitung determinan matriks Koefisien

│A│ = 

          

2.       Menghitung determinan – determinan dari matriks koefisien yang sudah diganti kolomnya dengan matriks konstanta dan dihitung determinannya

3.       Menghitung nilai variabel – variabel tersebut dengan menggunakan formulasi sebagai berikut:

                                   Ẋ₁ =

                                   Ẋ₂ =

Ẋ₃ =

Ẋ_n =

Ẋ_i =    ................    Persamaan 12.2

                                       Ket : i = 1,2,3,...,n

Keterangan:

      Dari formulasi 12.2 diatas dapat diamati bahwa penyebut dari Ẋ_i   adalah │C│ yang bersangkutan, sedangkan pembilangnya merupakan determinan dari koefisien matriks yang sudah diganti kolomnya dengan matriks konstanta. Setelah kolom ke –i diganti dengan matriks C yang diperoleh dari ruas kanan persamaan.

     CONTOH SOAL :

Dik : tiga buah persamaan linier sebagai berikut

 2X₁ + 4X₂ – X₃ = 52

-X₁   + 5X₂  + 3X₃  = 72

3X₁ – 7X₂ + 2X₃ = 10

Dit : Carilah nilai X₁ , X₂ , X₃ ....?

Jawab :

    A =    =

│A│ =

M₁₁ =  = 31

M₁₂ =  = -11

M₁₃ =  = -8

│A│ = (2)(31) – (4)(-11) + (-1)(-8)

        = 114

│X₁│ =

M₁₁ =   = 31

M₁₂ =    = 114

M₁₃ =     = -554

│X₃│ = (52)(31) – (4)(114) + (-1)(-554)

        = 1.710

│X₂│ =

M₁₁ =   = 114

M₁₂ =  = -11

M₁₃ =  = -226

│X₂│ = (2)(114) – (52)(-11) + (-1)(-226)

        = 1.026

│X₃│ =

M₁₁ =  = 554

M₁₂ =  = -226

M₁₃ =  = -8

│X₃│ = (2)(554) – (4)(-226) + (52)(-8)

        = 1.596

  Ẋ₁ =

          =         

          = 15

                               

     Ẋ₂ =

          =

          = 96

     Ẋ₃ =

          =

          = 14

1.        

Dik : Persamaan – persamaan Keseimbangan pasar umum terdapat tiga commudity dengan simbol    a,b,dan c, yakni sebagai berikut...

 

                                  11P_a – P_b – P_c = 31

                                  -P_a - + 6P_b – 2P_c = 26

                                 -P_a – 2P_b + 7P_c = 24

Jawab :

     A =  =

│A│ =

│M₁₁ │ =  = 42 – 4 = 38

│M₁₂ │ =  = -7 -2 = -9

│M₁₃ │ =  = 2 – (-6) = 8

                        │A│= (11)(38) – (-1)(-9) + (-1)(8)

                                = 401

│P_a │ =

│M₁₁ │ =  = 42 – 4 = 38

│M₁₂ │ =   = 182 – (-48) = 230

│M₁₃ │ =  = -52 – 144 = -196

                 │P_a │ = (31)(38) – (-1)(230) + (-1)(-196)

                           = 1.604

│P_b │ =

│M₁₁ │ =  = 182 – (-48) = 230

│M₁₂ │ =  = -7 - -2 = -9

│M₁₃ │ =  = -24 – (-26 ) = 2

                  │P_b │ = (11)(230) – (31)(-9) + (-1)(2)

                            = 2.807

│P_c │ =

│M₁₁ │ =  = 144 – (-52) = 196

│M₁₂ │ =  = -24 – (-26) = 2

│M₁₃ │ =  = 2 – (-6) = 8

                     │P_c │ = (11)(196) – (-1)(2) + (31)(8)

                               = 2.406